1. CHo $\frac{1}{a} \frac{1}{b}=\frac{2}{b}$(a,b ,c >0 )CMR: $\frac{a b}{2a-b} \frac{c b}{2c-b}\ge4$2. CHo a,b,c > 0 và a2 b2 c2 = 3. CMR: a2b b2c c2a < = 33. CHo a,b,c thõa mãn a b c...

1

NL

Nguyễn Linh Chi

6 tháng 10 2020

Mình xem phép làm câu 1 ạ.

Đề là?

$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$(1)

Chứng minh tương đương

$\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}\ge4$<=> 12ac - 9bc - 9ab + 6b² $\le$0 ( quy đồng ) (2)

Từ (1) <=> 2ac = ab + bc Thay vào (2) <=> 6ab + 6bc - 9bc - 9ab + 6b² $\le$0

<=> a + c $\ge$2b

Từ (1) => $\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{a+c}$

=> a + c $\ge$2b đúng => BĐT ban đầu đúng

Dấu "=" xảy ra <=> a = c = b

QD

quang dũng lê

26 tháng 2 2022

cho a,b,c thuộc [0;1]

CMR : a2+b2+c2≤1+a2b+b2c+c2a

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

26 tháng 2 2022

Lời giải:
Do $a,b,c\in [0;1]$ nên:

$a^2(1-b)\leq 0$

$b^2(1-c)\leq 0$

$c^2(1-a)\leq 0$

Cộng theo vế suy ra: $a^2+b^2+c^2\leq a^2b+b^2c+c^2a$

Ta có đpcm.

Đúng(2)

QD

quang dũng lê

27 tháng 2 2022

sao lại nhỏ hơn 0 vậy ạ

PK

Phương Khánh

22 tháng 4 2020

Cho a, b, c thuộc số thực dương, thỏa mãn a2+b2+c2=3

CMR : (a2b+b2c+c2a)(a+b+c)≥9abc

(c2 là c^2 nha...)

3

T

tth_new

23 tháng 4 2020

Phương Khánh Thực ra là ban đầu mình tính dùng Bunyakovski thẳng luôn nhưng thấy bậc khá cao mà không biết BĐT đó đúng hay sai nên mình đảo a, b, c xuống mẫu để dùng BĐT Bunyakovski thì bậc sẽ thấp hơn.

Và không ngờ sự vô tình đó giúp mình gặp may mắn: Đại lượng abc ở $\frac{abc\left(a+b+c\right)^3}{ab+bc+ca}$ có thể giản ước cho đại lượng abc ở VP. Bậc của BĐT được hạ thấp và mình cứ thế mà chém:))

T

tthnew

22 tháng 4 2020

Áp dụng BĐT Bunyakovski$,$ ta có: $\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\ge\left(a+b+c\right)^2$

Do đó: $VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=\frac{abc\left(a+b+c\right)^3}{ab+bc+ca}\ge9abc$

Bất đẳng thức cuối tương đương: $\left(a+b+c\right)^3\ge9\left(ab+bc+ca\right)$ $(\ast)$

Có: $3=a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)$

$\therefore\left(ab+bc+ca\right)=\frac{\left(a+b+c\right)^2-3}{2}$

$(\ast)$ $\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3\ge\frac{9}{2}$$\Big[(a+b+c)^2-3\Big] $

$\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(2a+2b+2c+3\right)\left(a+b+c-3\right)^2\ge0$

Bất đẳng thức cuối hiển nhiên.

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$. Done.

GL

Gia Linh Trần

4 tháng 5 2016

cho a,b,c>0 và $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$

CMR $\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}\ge4$

1

NT

Nguyễn Tuấn

4 tháng 5 2016

http://diendantoanhoc.net/topic/71619-cmr-fracab2a-bfraccb2c-bgeq-4/?setlanguage=1&langurlbits=topic/71619-cmr-fracab2a-bfraccb2c-bgeq-4/&langid=1

GL

Gia Linh Trần

3 tháng 5 2016

cho a,b,c>0 và $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$

CMR $\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}\ge4$

2

CT

Chàng trai lạnh lùng

3 tháng 5 2016

khó thế

NN

Nguyễn Nhật Minh

20 tháng 6 2016

$\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{a+c}$

$\frac{a}{b}+\frac{c}{b}\le2\Leftrightarrow x+y\le2$

VT=$\frac{x+1}{2x-1}+\frac{y+1}{2y-1}$

$2VT=2+3\left(\frac{1}{2x-1}+\frac{1}{2y-1}\right)\ge2+\frac{3.4}{2\left(x+y\right)-2}\ge8$

=> dpcm

S

Sherry

18 tháng 3 2018

Cho a, b, c>0 thỏa mãn: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{c}$CMR: $\frac{a+c}{2a-c}+\frac{b+c}{2b-c}\ge4$

0

VX

vũ xuân

19 tháng 6 2019

cần giúp

1.Cho a,b,c>0. CMR:$\frac{a^5}{b^5}+\frac{b^5}{c^5}+\frac{c^5}{a^5}\ge a^3+b^3+c^3$

2.Cho a,b,c>0. CMR: $\frac{a^3}{a+2b}+\frac{b^3}{b+2c}+\frac{c^3}{c+2a}\ge\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)$

3.Cho a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. CMR: $\frac{a}{b^2c+1}+\frac{b}{c^2a+1}+\frac{c}{a^2b+1}\ge2$

2

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

19 tháng 6 2019

a/ BĐT sai, cho $a=b=c=2$ là thấy

b/ $VT=\frac{a^4}{a^2+2ab}+\frac{b^4}{b^2+2bc}+\frac{c^4}{c^2+2ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}$

$VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)^2}{3\left(a+b+c\right)^2}=\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

c/ Tiếp tục sai nữa, vế phải là $\frac{3}{2}$ chứ ko phải $2$, và hy vọng rằng a;b;c dương

$VT=\frac{a^2}{abc.b+a}+\frac{b^2}{abc.c+b}+\frac{c^2}{abc.a+c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{abc\left(a+b+c\right)+a+b+c}$

$VT\ge\frac{9}{3abc+3}\ge\frac{9}{\frac{3\left(a+b+c\right)^3}{27}+3}=\frac{9}{\frac{3.3^3}{27}+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

23 tháng 6 2019

Ta có:

$a^3+b^3+b^3\ge3ab^2$ ; $b^3+c^3+c^3\ge3bc^2$ ; $c^3+a^3+a^3\ge3ca^2$

Cộng vế với vế $\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge ab^2+bc^2+ca^2$

$\frac{a^5}{b^2}+\frac{b^5}{c^2}+\frac{c^5}{a^2}=\frac{a^6}{ab^2}+\frac{b^6}{bc^2}+\frac{c^6}{ca^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{ab^2+bc^2+ca^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a^3+b^3+c^3}=a^3+b^3+c^3$

AV

An Võ (leo)

6 tháng 3 2019

Cho a.c > 0 và $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$ CMR: $\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}\ge4$

P/s: có thể sd các cách cm L9

1

KB

Khôi Bùi

7 tháng 3 2019

Ta có : $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}\Leftrightarrow\frac{a+c}{ac}=\frac{2}{b}\Leftrightarrow b=\frac{2ac}{a+c}$

$\frac{a+b}{2a-b}=\frac{a+\frac{2ac}{a+c}}{2a-\frac{2ac}{a+c}}=\frac{\frac{a^2+3ac}{a+c}}{\frac{2a^2}{a+c}}=\frac{a^2+3ac}{2a^2}=\frac{a+3c}{2a}\left(1\right)$

$\frac{c+b}{2c-b}=\frac{c+\frac{2ac}{a+c}}{2c-\frac{2ac}{a+c}}=\frac{\frac{c^2+3ac}{a+c}}{\frac{2c^2}{a+c}}=\frac{c^2+3ac}{2c^2}=\frac{c+3a}{2c}\left(2\right)$

Từ ( 1 ) ; ( 2 ) có : $\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}=\frac{a+3c}{2a}+\frac{c+3a}{2c}=\frac{ac+3c^2+ac+3a^2}{2ac}=\frac{3\left(c^2+a^2\right)+2ac}{2ac}$

Áp dụng BĐT Cauchy cho a ; c dương , ta có :

$c^2+a^2\ge2ac\Rightarrow\frac{3\left(c^2+a^2\right)+2ac}{2ac}\ge\frac{3.2ac+2ac}{2ac}=4$

Dấu " = " xảy ra $\Leftrightarrow a=c$

Mà $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$ $\Rightarrow\frac{2}{a}=\frac{2}{b}\Rightarrow a=b=c$

Vậy ...

NT

Nguyễn Thành Đạt

10 tháng 2 2021

cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a, b, c > 0 và $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$. Chứng minh $\frac{a+b}{2a-b}+\frac{b+c}{2c-b}\ge4$

1

KN

Kiệt Nguyễn

10 tháng 2 2021

Theo giả thiết: $\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\ge\frac{2}{\sqrt{ac}}\Leftrightarrow b^2\le ac\Leftrightarrow\frac{ac}{b^2}\ge1$

Ta có: $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}\Leftrightarrow b\left(a+c\right)=2ac\Leftrightarrow2ac-bc=ab\Leftrightarrow2a-b=\frac{ab}{c}$$\Rightarrow\frac{a+b}{2a-b}=\frac{a+b}{\frac{ab}{c}}=\frac{ac+bc}{ab}=\frac{c}{b}+\frac{c}{a}$(1)

Tương tự: $\frac{b+c}{2c-b}=\frac{a}{c}+\frac{a}{b}$(2)

Cộng từng vế hai đẳng thức (1), (2) và áp dụng Cô - si, ta được: $\frac{a+b}{2a-b}+\frac{b+c}{2c-b}\ge\frac{c}{b}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{a}{b}\ge4\sqrt[4]{\frac{ca}{b^2}}\ge4$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

CN

Cuội ngu ngơ

13 tháng 12 2017

Cho a,b,c là các số dương và $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$

CMR $\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}\ge4$

1

LT

Lê Thế Minh

13 tháng 12 2017

ta có $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}\Rightarrow b=\frac{2ac}{a+c}$

thay b vào$\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}=\frac{a+3c}{2a}+\frac{c+3a}{2c}$

$=\frac{2ac+3\left(a^2+c^2\right)}{2ac}\ge\frac{2ac+6ac}{2ac}=4$